Topología y Análisis Real

Clase 1 (teórico)

• Presentación del curso.
• Definición de métrica sobre un conjunto. 
• Ejemplos de métrica: la métrica p sobre $\mathbb{R}^n$.
• Relaciones entre las distintas métricas p mediante desigualdades. Convergencia de la métrica p a la métrica cuadrada.

Clase 2 (teórico)

• Ejemplos de métrica: la métrica cuadrada sobre funciones acotadas, y la métrica p sobre funciones integrales según Riemann. 
• Relaciones entre las distintas métricas p mediante desigualdades. Diferencias con $\mathbb{R}^n$.
• Productos finitos de espacios métricos (tales productos son espacios métricos). Varias métricas del tipo métrica p que se pueden construir sobre un producto finito de espacios métricos.
• Definición de espacios normados.
• Toda norma induce una métrica. Los espacios normados son un tipo particular de espacios métricos.

Clase 3 (teórico)

• Ejemplos de espacios normados: la norma p sobre $\mathbb{R}^n$.
• Ejemplos de espacios normados: la norma p sobre las funciones integrables según Riemann.
• Desigualdad de Hölder (generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz). 
• Desigualdad de Minkowski (desigualdad triangular para la norma p).
• Definición de espacios con producto interno.
• Todo espacio con producto interno es un espacio normado.
• Ejemplo de espacios con producto interno y de espacios normados cuya norma no está inducida por un producto interno (teorema de Jordan - von Neumann e identidad del paralelogramo).
• Distancia de un punto a un conjunto en un espacio métrico.