Cálculo Diferencial e Integral en una Variable

El material de teórico que seguiremos en esta sección son las notas que están disponibles aquí, que también distribuye el CEI en versión impresa. 

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Los objetivos para este tema son:

- Ver la integral como el área algebraica entre el gráfico de una función y el eje $x$, y la diferencia entre el área algebraica y el área de una figura geométrica en el sentido usual.

- Saber las definiciones de partición de un intervalo, y de suma superior y suma inferior de una función acotada respecto de una partición. 

- Dadas una función y una partición, calcular las sumas superior e inferior correspondientes. 

- Dada una función acotada sencilla, aproximar el área algebraica entre su gráfico y el eje $x$ por una suma superior o inferior, estimando el error cometido. Elegir particiones apropiadas para lograr las aproximaciones deseadas. 

- Entender que el conjunto de todas las sumas inferiores para una función dada con dominio $[a,b]$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$, que está indexado en el conjunto de todas las particiones de $[a,b]$. Usar este conjunto en demostraciones y estimaciones sencillas, que involucren la elección de particiones más finas o más gruesas que una dada, elegidas de forma apropiada para el problema planteado. 

- Saber la definición de integral superior, integral inferior y función integrable. 

- Leer la demostración del criterio de integrabilidad a menos de $\varepsilon$ siguiendo su argumentación. Aplicar dicho criterio a funciones concretas para demostrar que son integrables, o a demostraciones de propiedades sencillas. 

- Conocer algunas propiedades básicas de la integral (linealidad, linealidad con respecto al intervalo, cambio de variable lineal) y aplicarlas en cálculos concretos.

- Saber la definición del logaritmo natural, identificar la región cuya área es por definición $log(x)$ para $x>0$. 

- Saber que las funciones monótonas son integrables, y leer la demostración de esto siguiendo su argumentación.

- Calcular integrales de funciones como $x$, $x^2$, $1/x$ y $\sqrt{x}$, a partir de las definiciones y propiedades aprendidas y de argumentos geométricos. 

-Identificar el uso del axioma de completitud en la definición de la integral de Riemann y en la demostración de algunas de sus propiedades.