Cálculo Diferencial e Integral en una Variable

Los objetivos para este tema son:

- Saber la definición de derivada como límite del cociente incremental y su interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

- Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado.

- Usando conocimientos de límites, calcular derivadas a partir de la definición.

- Saber que la derivabilidad implica la continuidad, y saber demostrar este hecho.

- Calcular derivadas de funciones que se obtienen haciendo sumas, productos, cocientes y composiciones de funciones cuyas derivadas son conocidas.

- Leer la demostración de la fórmula de la derivada del producto y/o de la regla de la cadena, entendiendo cada paso.

- Conocer el enunciado de teorema de la función inversa, y aplicar correctamente la fórmula que este da. Usar la simetría entre el gráfico de una función y el de su inversa para hacer razonamientos geométricos sobre derivadas.

- Conocer la regla de L'Hôpital, y usarla con soltura para calcular límites indeterminados.

- Saber la definición de extremo relativo y de extremo absouto, y entender la diferencia entre estos conceptos.

- Saber las condiciones bajo las cuales en un extremo relativo de $f$ la derivada de $f$ se anula, y saber aplicar este conocimiento a la búsqueda de extremos relativos en ejemplos concretos.

- Conocer el enunciado de los teoremas de Rolle y Lagrange, y leer sus demostraciones siguiéndolas paso a paso.

- Conocer algunas propiedades de las funciones que son derivables en intervalos, como la relación entre el signo de $f'$ y el crecimiento de $f$. Entender cómo se deducen del teorema de Lagrange, pudiendo deducir propiedades geométricas de los gráficos de funciones derivables mediante razonamientos similares. 

- Aplicar los teoremas de Rolle y Lagrange a problemas geométricos y físicos sencillos, determinando certeramente a qué función y en qué intervalo hay que aplicarlos para resolver cada problema que se plantee.

- Dada una función derivable $f$ definida en un intervalo, determinar si posee extremos relativos, extremos absolutos, y clasificarlos, usando conjuntamente el teorema de Weierstrass, los límites en el infinito si los hay, el signo de $f'$ y el de $f''$ si existe. 

- Resolver problemas de optimización planteados en lenguaje natural, modelándolos matemáticamente como problemas de hallar extremos de funciones de una variable real.

- Manipular con soltura las funciones polinomiales, trigonométricas, logaritmo y exponencial y funciones que se obtiene de ellas mediante operaciones y composiciones, así como las derivadas de éstas.

- Conocer una batería de ejemplos de funciones que muestren la necesidad de las hipótesis de los teoremas estudiados, o la invalidez de sus recíprocos en el caso de resultados como "si $f$ derivable entonces es continua".

- Conocer la interpretación de la derivada como velocidad en un movimiento unidireccional. Aplicarla, junto a los resultados vistos en el curso (e.g. el teorema de Lagrange) a problemas físicos sencillos.